本試

問3-2

直積空間X*Yが連結であることを示す。
ここで、題意に反してX*Yの開集合であり同時に閉集合であるものが
φ,X*Y意外に存在し、それをV*Uとおく。（V*U⊂X*Y）
ここで、位相空間X,Yはそれぞれ連結であるので
開集合であり同時に閉集合であるものはφもしくは自分自身である。
V ≠ X,φ　かつ　U ≠ Y,φ　のとき
V,Uは開集合もしくは閉集合である。
Vが開集合のとき、
V*Uが開集合もしくは閉集合かどうかはUに依存する。
Uが開集合であるとき、V*Uは開集合である。また、Uが閉集合のとき、V*Uは閉集合である。
よって、同時にV*Uは開集合かつ閉集合でありえないので矛盾。
Vが閉集合のとき、
V*Uは常に閉集合となるので、矛盾。
以上より命題は示された。

↑真偽のほどは分からん。

V ≠ X,φ　かつ　U ≠ Y,φ　のとき

はちょっと説明不足かな。
V,Uのペアが両方がいずれかに一致していたら、φ,X*Yになる。